Operasi Vektor dan Contoh Soalnya

Maret 12, 2021

Operasi Vektor dan Contoh Soalnya

Operasi Aljabar Vektor

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Sumber : Dokumentasi Penulis

Perhatikanlah gambar vektor a, b, dan c pada koordinat Cartesius berikut ini !

Untuk a dan b vektor-vektor pada dua dimensi, berlaku :

Sumber : Dokumentasi penulis

Perkalian Skalar dengan Vektor

Jika k skalar tak nol dan vektor u = (u1, u2 , …, un), maka ku = (ku1, ku2, …, kun).

Dalam perkalian skalar dengan vektor ini, jika k > 0, maka vektor ku searah dengan vektor u. Adapun jika k < 0, maka vektor ku berlawanan arah dengan vektor u.

Sumber : Dokumentasi penulis

Sifat-sifat Operasi Hitung pada Vektor

Jika a, b, dan c merupakan vektor-vektor, kemudian k dan l skalar tak nol maka berlaku hubungan berikut :

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a

a + (–a) = 0

(kl)a = k(la)

k (a+b) = ka + kb

(k+l)a = ka + la

1a = a

Perkalian antara Dua Vektor

Hasil kali titik (dot product)

Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama, yaitu ruang yang menghasilkan skalar. Jika v dan w vektor pada ruang/dimensi yang sama, θ sudut diantara v dan w, maka hasil kali titik antara dua vektor :

Sumber : Dokumentasi penulis

Beberapa sifat perkalian titik adalah:

a · b = b · a

a · (b + c ) = (a · b )+ (a · c )

k(a · b ) = ka · b = a · kb, dimana k ∈ R

Proyeksi Ortogonal

Vektor ortogonal adalah vektor-vektor yang tegak lurus, v · w = 0 dimana harus ada referensi suatu vektor lain, misal a. Menguraikan u menjadi 2 bagian yaitu sejajar dengan suatu vektor a dan tegak lurus terhadap vektor a.

Sumber : Dokumentasi penulis

Hasil Kali Silang (cross product)

Hasil kali silang merupakan operasi antara dua vektor pada ruang tiga dimensi yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

Sumber : Dokumentasi penulis

Cara menghitung :

Sumber : Dokumentasi penulis

Contoh soal

3. Diketahui

\vec{a} + \vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}

Hasil dari

$\vec{a} . \vec{b} =$

A. 4

B. 2

C. 1

D. ½

E. 0

dari :

$\to a + \to b =^i -^j + 4^k$

didapat :

| \to a + \to b | 2 = 12 + (- 1) 2 + 42 | \vec{a} + \vec{b} |^{2} = 1^{2} + (- 1)^{2} + 4^{2}| \to a + \to b | 2 = 18 | \vec{a} + \vec{b} |^{2} = 18

ingat !

$| \to a + \to b |^{2} = | \to a |^{2} + | \to b |^{2} + 2 | \to a | | \to b | c o s θ$

sehingga:

$| \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2} + 2 | \vec{a} | | \vec{b} | c o s θ = 18$ . . . . (1)

karena :

$| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{14}$

maka :

$| \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2} - 2 | \vec{a} | | \vec{b} | c o s θ = 14$ . . . . (2)

Eliminasi persamaan (1) dan (2)

$| \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2} + 2 | \vec{a} | | \vec{b} | c o s θ = 18$ . . . . (1)
$| \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2} - 2 | \vec{a} | | \vec{b} | c o s θ = 14$ . . . . (2)
---------------------------------------------------------------- ---
$4 | \vec{a} | | \vec{b} | c o s θ = 4$
$| \vec{a} | | \vec{b} | c o s θ = 1$

ingat !

$\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | c o s θ$
$\vec{a} . \vec{b} = 1$ → C.

Matematika Peminatan

Matematika Peminatan